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<!DOCTYPE html>

<title>Bernoulli-Prozess</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Bernoulli-Prozess</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Ein Bernoulli-Prozess oder eine Bernoulli-Kette (benannt nach <a href="Jakob_I_Bernoulli" title="Jakob I Bernoulli">Jakob I Bernoulli</a>) ist eine Folge von <a href="Stochastisch_unabh%C3%A4ngige_Ereignisse" title="Stochastisch unabhängige Ereignisse">stochastisch unabhängigen</a> <a href="Bernoulli-Experiment" class="mw-redirect" title="Bernoulli-Experiment">Bernoulli-Experimenten</a>. Bei einem solchen Experiment gibt es stets nur zwei Ausgänge, Erfolg oder Misserfolg. Zudem muss die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg und somit auch die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg bei jedem der Experimente dieselbe sein.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

In mathematischer Terminologie ist ein Bernoulli-Prozess ein zeitlich diskreter <a href="Stochastischer_Prozess" title="Stochastischer Prozess">stochastischer Prozess</a>, der aus einer endlichen oder abzählbar unendlichen Folge von <a href="Stochastisch_unabh%C3%A4ngige_Zufallsvariablen" title="Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen">unabhängigen</a> Versuchen mit <a href="Bernoulli-Verteilung" title="Bernoulli-Verteilung">Bernoulli-Verteilung</a> zum selben Parameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p\in \left[0,1\right]}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p\in \left[0,1\right]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/403c14a696bad2adffdf3b4b91494c89fb043180.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:8.752ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p\in \left[0,1\right]}" loading="lazy"> besteht. Das heißt, für jeden der Zeitpunkte 1, 2, 3, … wird „ausgewürfelt“, ob ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> eintritt oder nicht.

Der Prozess kann durch eine Folge von unabhängigen <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariablen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc }">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a48c0e8e6476ca91c7ba5a2d637d9567024c5aa7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.761ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dotsc }" loading="lazy"> beschrieben werden, von denen jede mit der konstanten Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> den Wert 1 (Erfolg) und mit der Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9633a8692121eedfa99cace406205e5d1511ef8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1-p}" loading="lazy"> den Wert 0 (Misserfolg) annimmt.

Je nach Fragestellung interessiert man sich für eine oder mehrere der folgenden Zufallsvariablen:

<ul><li>Die Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy"> erfolgreicher Versuche nach Durchführung von insgesamt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Versuchen. Sie folgt einer <a href="Binomialverteilung" title="Binomialverteilung">Binomialverteilung</a>. Es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}=X_{1}+\dotsb +X_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}=X_{1}+\dotsb +X_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85e1164be121e8d0b28ca29d1082d97df84e59b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.267ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}=X_{1}+\dotsb +X_{n}}" loading="lazy">.</li>

<li>Die Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{r}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d42a2f96162536ac26ef7cefedb159170597124.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.331ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T_{r}}" loading="lazy"> von Versuchen, die benötigt werden, um eine vorgegebene Anzahl von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> Erfolgen zu erzielen. Sie folgt der <a href="Negative_Binomialverteilung" title="Negative Binomialverteilung">negativen Binomialverteilung</a>. Insbesondere ist die Wartezeit auf den ersten Erfolg <a href="Geometrische_Verteilung" title="Geometrische Verteilung">geometrisch verteilt</a>.</li></ul>

Die Anzahl der Erfolge nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Versuchen bei einem Bernoulli-Prozess ist eine spezielle <a href="Markow-Kette" title="Markow-Kette">Markow-Kette</a>: Beim Schritt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n+1}" loading="lazy"> geht das System mit der Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> aus dem Zustand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> in den Zustand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k+1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/552a558062ed4c0486297b5b5531c5ee044dbd9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.214ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle k+1}" loading="lazy"> über, sonst bleibt es im Zustand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">.

Ein Bernoulli-Prozess hat die <a href="Ergebnismenge" class="mw-redirect" title="Ergebnismenge">Ergebnismenge</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega =\{S,F\}^{\mathbb {N} }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega =\{S,F\}^{\mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52bfd0a40ebfe77a6f7b9e19abf204da985576f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.794ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \Omega =\{S,F\}^{\mathbb {N} }}" loading="lazy"> und jede <a href="Zufallsvariable" title="Zufallsvariable">Zufallsvariable</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}" loading="lazy"> hat zwei möglichen Ergebnisse, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> (Erfolg) und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> (Misserfolg), also ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}\in \{S,F\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}\in \{S,F\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/597994850e6e3101197a84b2d5b320add62b4ae8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.163ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X_{i}\in \{S,F\}}" loading="lazy">. Für jede Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af4a0955af42beb5f85aa05fb8c07abedc13990d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.724ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X_{i}}" loading="lazy"> tritt mit der gleichen <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a> Erfolg bzw. Misserfolg auf. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> die Wahrscheinlichkeit für Erfolg, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9633a8692121eedfa99cace406205e5d1511ef8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1-p}" loading="lazy"> die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P\{X_{i}=S\}=p}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\{X_{i}=S\}=p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f15596a61fa9ffc5707bf2e59915291cad807ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.66ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P\{X_{i}=S\}=p}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P\{X_{i}=F\}=1-p}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P\{X_{i}=F\}=1-p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fac4ea388690dc80f0ca7ccaa1e9cb7a8f3a53e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.904ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle P\{X_{i}=F\}=1-p}" loading="lazy">.

Die Anzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}1\{X_{i}=S\}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}1\{X_{i}=S\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7f386b0704c2ba2e567ba64a133a8af63a43a66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:20.293ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}1\{X_{i}=S\}}" loading="lazy"> der erfolgreichen Versuche hat den <a href="Erwartungswert" title="Erwartungswert">Erwartungswert</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {E} (S_{n})=np}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {E} (S_{n})=np}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a304a3c1201c01977ee1219f3cbd15bba4dbb1d6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.698ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {E} (S_{n})=np}" loading="lazy"> und die <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Var} (S_{n})=np(1-p)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Var} (S_{n})=np(1-p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1c26bcc62c9b559f9367e7ebfa84fb94f308ad7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.914ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Var} (S_{n})=np(1-p)}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-1">[1]</a>

Die Zufallsvariable <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f049ac28d4ac8097b625f9d71c1f22b2ebd1bc4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.643ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle S_{n}}" loading="lazy">, die angibt, wie viele von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Bernoulli-Versuchen erfolgreich waren, folgt der <a href="Binomialverteilung" title="Binomialverteilung">Binomialverteilung</a>. Wir leiten diese Verteilung im folgenden Beispiel mit einem Würfel her.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Würfel">Würfel</h3></div>

Beim Würfeln werde die Sechs als Erfolg gewertet. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p={\tfrac {1}{6}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p={\tfrac {1}{6}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c9f332df707c117d833267fc38767c49615cd70.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; margin-left: -0.089ex; width:6.015ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle p={\tfrac {1}{6}}}" loading="lazy">, die komplementäre <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a> für einen Misserfolg ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-p={\tfrac {5}{6}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-p={\tfrac {5}{6}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b851f1439c75651082b91a213b3801ac9defc1b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:9.929ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle 1-p={\tfrac {5}{6}}}" loading="lazy">. Gefragt sei nun nach der Wahrscheinlichkeit, in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=5}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdb41e9a10a8fd7179b9170149a8d70949ba5d03.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=5}" loading="lazy"> Würfen genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bd301789e1f25a3da4be297ff637754ebee5f5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k=2}" loading="lazy"> Sechsen zu werfen. Die Antwort auf diese Frage findet man wie folgt: Die Wahrscheinlichkeit, erst 2 Sechsen, dann 3 andere Augenzahlen zu werfen, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p^{2}(1-p)^{3}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p^{2}(1-p)^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/83ae37e43c32796686f8f3b78f717cfdffe5a3e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:10.349ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle p^{2}(1-p)^{3}}" loading="lazy">. Da es auf die Reihenfolge aber nicht ankommt, ist diese Wahrscheinlichkeit zu multiplizieren mit der Anzahl der Möglichkeiten, zwei (ununterscheidbare) Sechsen auf 5 Würfe zu verteilen. Der <a href="Kombinatorik" title="Kombinatorik">Kombinatorik</a> zufolge ist diese Anzahl durch den <a href="Binomialkoeffizient" title="Binomialkoeffizient">Binomialkoeffizienten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tbinom {5}{2}}}">

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tbinom {5}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/635bfe677084a1962d1ab5c6fef903a1662f566f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.952ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tbinom {5}{2}}}" loading="lazy"> gegeben. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lautet also:

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(2|p,5)={\binom {5}{2}}p^{2}(1-p)^{5-2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8268c46f97ce3ea7341fb4b4b76b12f43ba6873b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.791ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle B(2|p,5)={\binom {5}{2}}p^{2}(1-p)^{5-2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Davon verallgemeinert lautet die Wahrscheinlichkeit in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> <a href="Bernoulli-Versuch" class="mw-redirect" title="Bernoulli-Versuch">Bernoulli-Versuchen</a> genau <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> mal Erfolg zu haben

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(S_{n}=k)=B(k|p,n)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b38150e3299f87fae346d4f2f0bef48853b9a83.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:43.143ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle P(S_{n}=k)=B(k|p,n)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}" loading="lazy"></dd></dl>

Diese Funktion heißt <a href="Binomialverteilung" title="Binomialverteilung">Binomialverteilung</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Irrfahrt">Irrfahrt</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Irrfahrt_(Stochastik)" title="Irrfahrt (Stochastik)">Irrfahrt (Stochastik)</a></div>

Ein betrunkener Fußgänger (oder ein <a href="Diffusion" title="Diffusion">diffundierendes</a> Teilchen) bewegt sich auf einer Linie bei jedem Schritt mit der <a href="Wahrscheinlichkeit" title="Wahrscheinlichkeit">Wahrscheinlichkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> vorwärts, mit der Wahrscheinlichkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1-p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1-p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9633a8692121eedfa99cace406205e5d1511ef8d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.172ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1-p}" loading="lazy"> rückwärts. Man interessiert sich beispielsweise für die Entfernung vom Ausgangspunkt. Ein solches Modell wird in der Physik als eindimensionale <a href="Zufallsbewegung" class="mw-redirect" title="Zufallsbewegung">Zufallsbewegung</a> bezeichnet. Die Position <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f19a1b3bf39298aacb7e2daeab9320130a986fb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.569ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{n}}" loading="lazy"> des Fußgängers nach <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> Schritten lässt sich mithilfe des Bernoulli-Prozesses <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (X_{k})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{k})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc39037affa37535f42c0670ac97165069a6662e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.822ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{k})}" loading="lazy"> darstellen als

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{n}=Y_{0}+\sum _{k=1}^{n}(2X_{k}-1)=Y_{0}+2S_{n}-n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5117d35bcd62de500991d031f79742455ab56281.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:40.64ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle Y_{n}=Y_{0}+\sum _{k=1}^{n}(2X_{k}-1)=Y_{0}+2S_{n}-n}" loading="lazy"></dd></dl>

Ist beispielsweise eine Realisierung des Bernoulli-Prozesses durch die <a href="Folge_(Mathematik)" title="Folge (Mathematik)">Folge</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (X_{n})=1,0,0,1,1,1,0,1,1,0,\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a684b8bbec19226ecf3c068c55ee170e5e7fcb4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.738ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (X_{n})=1,0,0,1,1,1,0,1,1,0,\ldots }" loading="lazy"></dd></dl>

gegeben, dann ist die Folge

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (Y_{n})=1,0,-1,0,1,2,1,2,3,2,\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6a3df86d428f1c05369aa53311a34e1c98726b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.972ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (Y_{n})=1,0,-1,0,1,2,1,2,3,2,\ldots }" loading="lazy"></dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Y_{0}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Y_{0}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96ddf6f3ac2cc6f1abe5947d8dfdd53022dfb65a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Y_{0}=0}" loading="lazy"> die zugehörige Irrfahrt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Christian Hesse: <cite style="font-style:italic">Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie</cite>. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-663-01244-3">10.1007/978-3-663-01244-3</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Bernoulli-Prozess&rft.au=Christian+Hesse&rft.btitle=Angewandte+Wahrscheinlichkeitstheorie&rft.date=2003&rft.doi=10.1007%2F978-3-663-01244-3&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.isbn=3528031832&rft.place=Wiesbaden&rft.pub=Vieweg" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Indian Institute of Science: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://ece.iisc.ac.in/~parimal/2017/spqt/lecture-02.pdf">Bernoulli Processes</a>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2024-12-13" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Bernoulli-Prozess&oldid=251205110">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>